Introdução à Variável Complexa – MA460

1. Início: 24/10/2023

2. Término: 19/03/2024

• Horários e Salas

  • Terça: 08:00 às 10:00 na Sala 309.

  • Quinta: 12:00 às 13:00 na Sala 309.

Ementa

Unidade I: 24/10/2023-30/11/2023

I) Números complexos

Definição e propriedade elementares. Conjugados complexos, valor absoluto. Forma polar e extração de raízes.                            

II) Funções analíticas

Funções de variável complexa, limites e continuidade. Derivação e regras de derivação. As condições de Cauchy-Riemann.    

III) Funções elementares

A função exponencial. Ramos de logaritmos. Funções trigonométricas e funções hiperbólicas. Expoentes complexos. Funções harmônicas. Teorema da função inversa.  

Unidade II: 05/12/2023-08/02/2024

IV) Integração

Integral ao longo de caminhos. Teorema de Cauchy-Goursat. Funções harmônicas. Fórmulas integrais de Cauchy e aplicações. Teorema de Morera. Teoremas do módulo máximo e módulo mínimo para funções analíticas e para funções harmônicas .

V) Sequências e séries

Convergência de sequências e séries de números complexos. Convergência uniforme de sequências e séries de funções. Derivação e integração de sequências e séries de funções. Série de Taylor de funções analíticas. Zeros de funções analíticas.

Unidade III: 13/02/2024-12/03/2024

VI) Singularidade e resíduos  

Singularidades isoladas de funções analíticas.  Séries de Laurent Tipos de singularidades isoladas. Teorema dos resíduos. Aplicações ao cálculo de integrais. 

VII) Transformações Conformes

Transformações conformes. Propriedades geométricas das funções analíticas elementares. Transformações lineares fracionárias. Transformação de regiões por transformações conformes. Funções inversas (trigonométricas e hiperbólicas).

• Livro texto:

1. Geraldo Ávila – Variáveis complexas e aplicações. LTC, 2008.
2. Dennis Zill, Patrick Shanahan – A first course in complex analysis with applications. Jones & Bartlett Learning, 2009.
3. James Ward Brown, Ward, Ruel V. Churchill – Complex variables and applications. McGraw-Hill, 2009.
4. John B. Conway – Functions of one complex variable I. Springer Science & Business Media, 2012.
5. Cecília S. Fernandez, Nilson C. Bernardes Jr. Introdução às funções de uma variável complexa.
6. Lima, E. L. Curso de Análise, Vol. 2, Décima edição, Projeto Euclides, IMPA, Rio de Janeiro, 2007.

Listas:

Lista 1 – IVC

Lista 2 – IVC

Lista 3 – IVC

Lista 4 – IVC

Lista 5 – IVC

Avaliações

1. Unidade I – 30/11/2023
2. Unidade II – 08/02/2024
3. Unidade III – 12/03/2024
4. Segunda chamada – 14/03/2024
5. Exame – 19/03/2024

Critérios de avaliação:

Se Pj denota a nota da prova j (j=1,2, 3), onde 0 ≤ Pj ≤ 10, e Li denota a nota da lista i (i=1,…,5), onde 0 ≤ Li ≤ 10, então a nota final NF será calculada da seguinte forma:

NF=(0,7)((P1+P2+P3)/3)+(0,3)((L1+…+L5)/5)