Cálculo Avançado

• Topologia do Espaço Euclidiano
     1.1 O espaço vetorial Rⁿ 
     1.2 Produto interno e norma
     1.3 Números complexos
     1.4 Bolas e conjuntos limitados
     1.5 Sequências no espaço euclidiano
     1.6 Pontos de acumulação
     1.7 Aplicações contínuas
     1.8 Homeomorfismos
     1.9 Limites
     1.10 Conjuntos abertos
     1.11 Conjuntos fechados
     1.12 Conjuntos compactos
     1.13 Distância entre dois conjuntos; diâmetro
     1.14 Conexidade
     1.15 A norma de uma transformação linear

• Caminhos no Espaço Euclidiano
     2.1 Caminhos diferenciáveis
     2.2 Integral de um caminho
     2.3 Os teoremas clássicos do Cálculo
     2.4 Caminhos retificáveis
     2.5 O comprimento de arco como parâmetro
     2.6 Curvatura e torção
     2.7 A função-ângulo

• Funções Reais de n Variáveis
     3.1 Derivadas parciais
     3.2 Derivadas direcionais
     3.3 Funções diferenciáveis
     3.4 A diferencial de uma função
     3.5 O gradiente de uma função diferenciável
     3.6 A Regra de Leibniz
     3.7 O Teorema de Schwarz
     3.8 Fórmula de Taylor: pontos críticos
     3.9 O teorema da função implícita
     3.10 Multiplicador de Lagrange

• Integrais Curvilíneas
     4.1 Formas diferenciais de grau 1
     4.2 Integral de Stieltjes
     4.3 Integral de uma forma ao longo de um caminho
     4.4 Justaposição de caminhos: caminho inverso
     4.5 Integral curvilínea de um campo de vetores e de uma função
     4.6 Formas exatas e formas fechadas
     4.7 Homotopia
     4.8 Integrais curvilíneas e homotopia
     4.9 Cohomologia
     4.10 A fórmula de Kronecker

• Aplicações Diferenciáveis
     5.1 Diferenciabilidade de uma aplicação
     5.2 Exemplos de aplicações diferenciáveis
     5.3 A regra da cadeia
     5.4 A fórmula de Taylor
     5.5 A desigualdade do valor médio
     5.6 Sequências de aplicações diferenciáveis
     5.7 Aplicações fortemente diferenciáveis
     5.8 O teorema da aplicação inversa
     5.9 Aplicação: o Lema de Morse
     5.10 A forma local das imersões
     5.11 A forma local das submersões
     5.12 O teorema do posto
     5.13 Superfícies no espaço euclidiano
     5.14 Superfícies orientáveis
     5.15 O método dos multiplicadores de Lagrange

•  Integrais Múltiplas
     6.1 A definição de integral
     6.2 Conjuntos de medida nula
     6.3 Caracterização das funções integráveis
     6.4 A integral como limite de somas de Riemann
     6.5 Integração repetida
     6.6 Mudança de variáveis

• Integrais de Superfície
     7.1 Formas alternadas
     7.2 Formas diferenciais
     7.3 A diferencial exterior
     7.4 Teorema de Green, Teorema de Gauss e Teorema de Stokes.

Fleming, W, Functions of Several Variables

Fulks, W, Advanced Calculus

Lima, E.L, Curso de Análise vol. II

Rudin, W. Principles of Mathematical Analysis, Third edition

Spivak, M, Calculus on Manifolds